Note of Sobolev Space
最近在学习 Adam 的
. 有些想到的小问题就在这里记录一下.
$W^{m,p}(\Omega)$ 和 $W^{m, p}(\overline \Omega)$ 的区别
在证明具有正则性条件的区域 $\Omega$ 上, $C^\infty_0(\mathbb R^n)$ 在 $W^{m,p}(\Omega)$ 上稠密. 这样一个定理的时候, 过程中有这样一句话:
For fixed such $j$ we extend $u_j$ to be identically zero outside $\Omega$. Thus $u_j\in W^{m, p}(\mathbb R^n - \Gamma)$, where $\Gamma = \overline {V_j}\cap \partial \Omega$.
也就是说原本 $u_j\in W^{m,p}(V_j)$, 令 $u_j$ 在区域外为零, 那么 $u_j\in W^{m,p}(\mathbb R^n - \partial V_j)$. 我就在想, 区域 $\Omega_0 = \mathbb R^n - \Gamma$ 和 $\mathbb R^n = \overline{\Omega_0}$ 上的索伯列夫空间有什么不同之处呢?
既然书上是这么写的, 那么这两个空间 $W_1 = W^{m,p}(\Omega_0)$, $W_2 = W^{m, p}(\overline {\Omega_0})$ 之间一定是不一样的. 并且直觉告诉我们显然这两个空间是不一样的, 但是范数的定义告诉我们, 似乎两个没什么区别, 因为两个区域只差了一个边界. 而边界测度为零的, 也就是说
在学习 $L^p$ 空间的时候我们就已经知道了, 对于 $L^p(\Omega)$ 和 $L^p(\overline\Omega)$ 来说, 这两个都是同一个空间. 这和我们判断的结果是类似的. 那么区别出现在哪里呢?
这时候我突然想到 $W^{m,p}$ 和 $L^p$ 的一个区别在哪里了, 就是弱导数. 既然两个函数的范数是一致的, 那么唯一的区别就是弱导数本身了. 对于其中一个索伯列夫空间的函数 $u$ 而言, 它可能不属于另一个索伯列夫空间的函数.
我们可以考虑 $u\in W^{m,p}(\overline \Omega)$, 我们有
但是对于 $u\in W^{m,p}(\Omega)$, 我们有
两者的区别就在于 $\varphi$ 取得函数不一样了. 任取 $\varphi_1\in W^{m,p}(\Omega), \varphi_2\in W^{m, p}(\overline\Omega)$. 我们可以看出由于 $supp(\varphi_1)\subset\subset \Omega$, $\varphi|_{\partial \Omega} = 0$; 但是对于 $\varphi$ 来说, 在边界处不一定趋向于0. 因为任取紧集$K$, $K\cap \overline \Omega\subset\subset\overline\Omega$. 因此任意具有紧支集且在 $\overline\Omega$ 上光滑的函数都属于 $C_0^\infty(\overline\Omega)$.
若取 $\Omega = (0, 1)$, 则 $1_{[0, 1]}\in C_0^\infty([0, 1])$. 类似的, $C_0^\infty(\mathbb{R^n})\subset C_0^\infty(\overline \Omega)$, 但是若边界上不是0, 那么 $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^n)\setminus C_0^\infty(\Omega)$.
我们有
若 $\forall \varphi\in C_0^\infty(\overline \Omega)$, 则可以得到 $u|_{\partial\Omega} = 0$. 因此可以得到, $W_0^{m,p}(\Omega) = W^{m,p}(\overline\Omega)$.
132
123
123
