热传导方程

热传导方程具有

$$\left\{\begin{aligned} &\partial_t f - \partial_x^2 f = 0, \ in\ \mathbb R\\ &f|_{t=0} = f_0 \end{aligned}\right.$$

其中 $f_0\in L^2$, 则 $f(t)$ 在 $t>0$ 上是解析的.

直接证明热传导方程具有解是比较困难的, 但是可以先构造一个弱解, 证明弱解的存在性, 最后使用正则性搞定弱解, 证明弱解是 $C^2$ 的并且满足原方程, 是原方程的经典解.

存在性证明

在构造弱解之前先要知道弱解应当长成什么样子, 所以我们要先进行先验估计.

注意: 在这里都是形式运算, 所以无所谓运算有没有意义. 我们只是为了找到弱解的形式, 换句话说我们假设解具有充分好的性质.

先验估计

在热方程

$$\partial_t f - \partial_x^2f = 0$$

两端同时对 $f$ 做内积, 再做分部积分, 可以得到

$$(\partial_tf, f) + (\partial_x f, \partial_x f) = 0$$

即

$$\frac12 \frac{d}{dt} \|f(t)\|_{L^2}^2 + \|\partial_xf\|_{L^2}^2 = 0.$$

我们可以看出, $|f(t)|_{L^2}^2$ 是关于时间单调减的. 因此 $\sup_{t}|f(t)|\leq |f_0|_{L^2}^2$. 对上式积分可以得到

$$\int_0^\infty \|\partial_x f(t)\|_{L^2}^2dt\leq \|f_0\|_{L^2}^2.$$

同样的, 在等式两端对任意 $H^1$ 函数做内积再做分部积分, 可以得到

$$|(\partial_t f, g)| = |(\partial_xf, \partial_xg)|\leq \|\partial_xf\|_{L^2}\|g\|_{H^1}.$$

因此可以看出 $\partial_t f\in H^{-1}$, 并且

$$\int_0^\infty \|\partial_tf(t)\|_{H^{-1}}^2dt\leq \int_0^\infty\|\partial_xf(t)\|_{L^2}^2dt\leq \|f_0\|_{L^2}^2.$$

弱解的定义

从上一节我们得出结论:

$$\begin{aligned} &\sup\|f(t)\|^2_{L^2}\leq \|f_0\|_{L^2}, \\ &\int_0^\infty \|\partial_xf(t)\|_{L^2}^2dt\leq \|f_0\|_{L^2}^2, \\ &\int_0^\infty \|\partial_tf(t)\|_{H^1}^2dt\leq \|f_0\|_{L^2}^2 \end{aligned}$$

因此我们认为弱解 $f$ 应当满足,

$$f\in L^{\infty}(\mathbb R^+; L^2)\cap L^2(\mathbb R^+; H^1), \partial_tf\in L^2(\mathbb R^+; H^{-1}).$$

根据索伯列夫空间的性质, 若

$$f\in L^2(I; H^1), f'\in L^2(I; H^{-1}),$$

则 $f\in C(\bar I; L^2)$.

因此 $f\in L^{\infty}(\mathbb R^+; L^2)$ 的条件可以去掉. 因此我们定义弱解: 若对于函数 $f\in L^2(\mathbb R^+; H^1)$, $\partial_tf\in L^2(\mathbb R^+; H^{-1})$ 满足

$$\begin{aligned} &(\partial_tf, g) + (\partial_xf, \partial_xg) = 0\\ &(\partial_tf(0), g) = (f_0, g) \end{aligned}\quad \forall g\in H^1.$$

就称 $f$ 是热方程的弱解.

弱解的 Galerkin 逼近

设 $w_k$ 是 $H^1$ 上的一个正交基. 令

$$f_m = \sum_{k} d_m^k(t)w_k,$$

且满足对 $\forall w\in span\{w_1, \cdots, w_m\}=:X_m$, 满足

$$(\partial_tf_m, w) + (\partial_xf_m, \partial_xw) = 0, (f_m(0), w) = (f_0, w).$$

那么称 $f_m$ 是热方程的一个 Galerkin 逼近.

Galerkin 逼近的存在性

在 $f_m$ 的定义中很容易看出 $f_m\in X_m$, 逼近方程可以简化为

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}d_m^k + \sum (\partial_x w_i, \partial_x w_k)d_m^i = 0, d_m^k(0) = (f_m, w_k). \end{aligned}$$

容易看出, 这是一个线性常微分方程组, 所以必定具有局部解 $\vec d_m = (d_m^1, \cdots, d_m^m)$, 并且解可以延拓到边界.

Galerkin 逼近的能量估计

存在 $I = (0, T)$, 使得在 $I$ 上存在Galerkin逼近 $f_m$.

因为 $f_m\in X_m$, 因此满足

$$(f_m', f_m) + (\partial_xf_m, \partial_xf_m) = 0.$$

完全类似于先验估计的方法, 我们可以得到

$$\sup\|f(t)\|_{L^2}^2 + \int_I \|\partial_xf(t)\|_{L^2}^2dt\leq 2\|f_0\|_{L^2}.$$

任取 $g\in H^1$, 存在 $g_1\in X_m, g_2\in (X_m)^\perp$, 使得 $g = g_1 + g_2$. 因此

$$(\partial_tf_m, g) = (\partial_tf_m, g_1) = (\partial_xf_m, \partial_xg_1).$$

也就是说

$$|(\partial_tf_m, g)| \leq \|\partial_xf_m\|_{L^2}\|g_1\|_{H^1}\leq \|\partial_xf_m\|_{L^2}\|g\|_{H^1}$$

即

$$\|\partial_tf_m(t)\|_{H^{-1}}\leq \|\partial_xf_m(t)\|_{L^2}.$$

计算出和先验估计相同的能量估计

$$\int_I\|\partial_tf_m(t)\|_{L^2}^2dt\leq \|f_0\|_{L^2}.$$

从能量估计 $|f(t)|_{L^2}\leq |f_0|_{L^2}$ 可以看出 $\sum|d_m^i|^2$ 是有界的, 由常微分方程的延拓性质可以得到解可以延拓到 $t=+\infty$.

弱解的导出

根据 Galerkin 逼近的能量估计, 我们可以得到 $f_m, \partial_tf_m$ 在空间 $L^2(I; H^1)$ 和 $L^2(I; H^{-1})$ 上有界. 在自反空间的有界序列都是弱准紧的, 因此存在子列弱收敛. 因此存在 $f\in L^2(I;H^1), f’\in L^2(I; H^{-1})$, 使得

$$f_m\to f (weakly\ in\ L^2(I;H^1)), f_m'\to f'=\partial_t f (weakly\ in\ L^2(I; H^{-1})).$$

证明与抛物方程的完全类似.

热传导方程的正则性

设 $f$

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