一阶抛物方程的弱解

计算方程

$$\left\{\begin{aligned} &\partial_t u + Lu = f& in \ U_T = U\times (0, T]\\ &u = 0& on\ \partial U\times [0, T]\\ &u = g& on\ U\times\{t = 0\} \end{aligned}\right.$$

其中 $Lu$ 是一个二阶椭圆算子, 可以写作

$$\begin{aligned} L[u] = -\sum_{i, j} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(a_{ij}(t)\frac{\partial u}{\partial x_i}\right) + \sum b_i(t)\frac{\partial u}{\partial x_i} + c(t)u. \end{aligned}$$

椭圆算子满足下式:

$$\begin{aligned} \sum a_{ij}(t)\xi_i\xi_j\geq \theta |\xi|^2, \end{aligned}$$

其中 $\theta$ 是大于零的常数. 我们可以把抛物方程

$$\begin{aligned} u_t + Lu = f \end{aligned}$$

化成积分形式:

$$\begin{aligned} (u_t, v)_{L^2} + B[u, v; t] = (f, v)_{L^2}, \forall v\in H_0^1, \end{aligned}$$

其中

$$B[u,v;t] = \int_U \sum_{ij} a_{ij}(t) (\partial_i u)\partial_j v + \sum_i b_i(t) (\partial_i u) v + c(t) u v dx.$$

椭圆算子 $L$ 的能量不等式

定理: 对于 $B$, 我们可以计算出能量不等式:

$$\begin{aligned} B[u,u;t] + c_1\|u(t)\|_{L^2}^2 \geq c_2\|u(t)\|_{H^1_0}^2, \forall u\in L^2(0, T; H_0^1). \end{aligned}$$

证明请点此:

$$ \begin{aligned} B[u, u; t] &= \int_U \sum_{ij}a_{ij}(t)u_iu_j + \sum_ib_i(t)u_iu + c(t)u^2\\ &\geq \theta \int_U \sum_i|u_i|^2 - C u\sum_i u_i - Cu^2dt\\ &\geq \theta\|\nabla u\|_{L^2}^2 - \frac{\theta}{2}\|\nabla u\|_{L^2}^2 - C\|u\|_{L^2}^2 = \frac{\theta}{2}\|\nabla u\|^2_{L^2} - c\|u\|^2_{L^2} \end{aligned} $$ 又因为 $H_0^1$ 上的范数 $\|u\|_{H_0^1}$ 和 $\|Du\|_{L^2}$ 等价, 因此不等式可以直接化为: $$ \begin{aligned} B[u,u;t] + c_1 \|u\|_{L^2}^2\geq c_2 \|u\|_{H_0^1}^2. \end{aligned} $$ 即证.

抛物方程的弱解

对于抛物方程

$$u_t + Lu = f,$$

乘以 $u$ 再对空间变量 $x$ 积分可以得到

$$\begin{aligned} \int_U u_t u &= -B[u, u; t] + \int_U fu\\ &\leq C(\|f\|_{L^2}\|u\|_{L^2} + \|u\|_{H^1_0}^2)\\ &\leq C\|u\|_{H^1_0}(\|f\| + \|u\|_{H_0^1}) \end{aligned}$$

因此可以看出 $u’(t)\in H^{-1}$, 是 $H_0^1$ 上面的连续线性泛函. 因此我们不妨认为 $u’\in L^2(0, T; H^{-1})$.

因此我们可以定义弱解:
我们将一个函数

$$u\in L^2(0, T;H_0^1)\ with\ u'\in L^2(0, T; H^{-1}),$$

称为抛物方程

$$u_t + Lu = f$$

的一个弱解当且仅当满足

$$\begin{aligned} \langle u', v\rangle +B[u, v;t] &= (f, v), \forall v\in H_0^1, \forall t\in (0, T)\ a.e.\\ u(0) &= g \end{aligned}$$

注意到弱解的定义, 我们直接可以通过各向异性的索伯列夫空间得到 $u\in C([0, T]; L^2)$, 因此这个初值是有意义的. 确切地说, 因为对通常的函数 $u$ 而言, 对时间 $t$ 的相等是 a.e. 意义下的. 在这里, $u$ 一定具有一个连续的版本, 也就是说存在 $\tilde u\in C([0, T]; L^2)$, 使得

$$u(t) = \tilde u(t) , \forall t\in [0, T] a.e. .$$

在连续的意义下, 弱解 $u$ 的初值就具有意义了. 否则你任意改变函数 $u$ 在 $t=0$ 的值都是可以被允许的话, 那这个初值就没有任何意义了.

先验估计

假设 $u$ 是抛物方程

$$u_t + Lu = f$$

的一个弱解, 我们可以得出不等式

$$(u_t, u)_{H^{-1}, H_0^1} + B[u,u; t] = (f,u)\leq \|f\|^2_{L^2} + \|u\|_{L^2}^2.$$

由于 $u\in L^2(0,T; H_0^1), u’\in L^2(0, T; H^{-1})$, 我们可以得到

$$\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{L^2} = 2(u', u)_{H^{-1}, H_0^1}.$$

因此可以得到

$$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \|u(t)\|_{L^2}^2 + c_1\|u\|_{H^1_0}^2 \leq c_2\|f(t)\|_{L^2} + c_3\|u(t)\|_{L^2}$$

使用 Granwall 不等式, 在这里我详细写一下过程:

$$\begin{aligned} &\frac{d}{dt}\left(e^{-c_3t} \|u(t)\|_{L^2}^2\right) + c_1e^{-c_3t}\|u\|_{H^1_0}^2\\ =&e^{-c_3t}\frac{d}{dt} \|u(t)\|_{L^2}^2 + c_1e^{-c_3t}\|u\|_{H^1_0}^2 - c_3e^{-c_3t}\|u(t)\|_{L^2}^2\\ \leq&c_2e^{-c_3t}\|f(t)\|_{L^2}^2 \end{aligned}$$

积分可得

$$e^{-c_3t}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \int_0^te^{-c_3 t}\|u(s)\|_{H^1_0}^2ds\leq C\left(\int_0^t\|f(s)\|_{L^2}^2ds\right) + \|g\|_{L^2}^2.$$

整理可得

$$\|u(t)\|_{L^2}^2 + \int_0^t \|u(s)\|^2ds\leq C\left( \|g\|_{L^2}^2 + \int_0^t\|f(s)\|^2ds \right).$$

也就是说

$$\|u\|_{C([0, T]; L^2)} + \|u\|_{L^2(0, T;H_0^1)}\leq C\|f\|_{L^2(0, T;L^2)} + C\|g\|_{L^2}.$$

根据

$$|(u', v)|\leq C\|u(t)\|_{H_0^1}(\|u(t)\|_{H_0^1} + \|f(t)\|_{L^2}),$$

可以直接推出来

$$\|u'(t)\|_{H^{-1}}\leq C\|u(t)\| + C\|f(t)\|.$$

即

$$\|u'\|_{L^2(0, T;H^{-1})}\leq C\|u\|_{L^2(0, T;H^1_0)} + C\|f\|_{L^2(0, T;L^2)}.$$

综上可得

$$\|u\|_{C([0, T]; L^2)} + \|u\|_{L^2(0, T;H_0^1)} + \|u'\|_{L^2(0, T;H^{-1})}\leq C\|f\|_{L^2(0, T;L^2)} + C\|g\|_{L^2}.$$

弱解的存在性

Galerkin 分解

Galerkin 方法指的是使用有限维的函数去逼近原方程的解, 这跟分离变量法很相近.

我们使用一系列光滑函数 $w_k(x)$, 同时满足 $w_k$ 是 $H_0^1$ 和 $L^2$ 的正交基, 这是可以做到的. 我们可以取归一化过的 $L=-\Delta$ 的特征函数.

设

$$\begin{aligned} u_m(t) = \sum_{k=1}^m d_m^k(t)w_k, \end{aligned}$$

并且满足方程

$$\begin{aligned} &(u_m', w_k) + B[u_m, w_k; t] = (f, w_k), &\forall k\leq m\\ &(u_m(0), w_k) = (g, w_k), &\forall k\leq m \end{aligned}$$

这是可以做到的, 将 $u_m(t) = \sum_{i=0}^m d_m^k(t)w_k$ 代入方程

$$(u_m', w_k) + B[u_m, w_k; t] = (f, w_k).$$

我们可以得到

$$\sum_{i=1}^m \left[(d_m^i)'(t)(w_i, w_k) + d_m^i(t)B[w_i, w_k; t] \right]= (f, w_k)$$

因此可以化简成

$$\begin{aligned} (d_m^k)'(t) + \sum_{i=0}^m B[w_i, w_k; t] d_m^i(t) = (f, w_k) \end{aligned}$$

这是一个线性常微分方程组, 一定存在局部解, 并且可以延拓到边界.

能量估计

由于 $u_m\in span\{w_1,\cdots, w_m\}$, 我们有

$$\begin{aligned} &(u_m', u_m) + B[u_m, u_m; t]\\ =&\sum_{k=1}^m d_m^k(t)\left[(u_m', w_k) + B[u_m, w_k;t]\right]\\ =&\sum_{k=1}^m d_m^k(t)(f, w_k) = (f, u_m) \end{aligned}$$

又因为 $u_m\in C^1([0, T]; H_0^1)$, 因此有

$$\frac{d}{dt}\|u_m\|^2_{L^2} + 2B[u_m, u_m; t] = 2(f, u_m).$$

根据先验估计可以得到

$$\|u_m\|_{C([0, T]; L^2)} + \|u_m\|_{L^2(0, T;H_0^1)}\leq C\|f\|_{L^2(0, T;L^2)} + C\|g\|_{L^2}.$$

任取 $v\in H_0^1: |v|\leq 1$. 存在 $v_1\in span\{w_1, \cdots, w_m\}, v_2\in span\{w_1, \cdots, w_m\}^{\perp}$, 使得

$$v= v_1 + v_2.$$

由于正交性, $|v_1|\leq |v|\leq1$. 因此

$$\begin{aligned} &|(u_m', v)| = |(u_m', v_1)| = |B[u_m, v_1; t]| + |(f, v_1)|\\ \leq & C\|v_1\|_{H_0^1} (\|u_m\|_{H_0^1} + \|f\|_{L^2})\\ \leq & C(\|u_m\|_{H_0^1} + \|f\|_{L^2}) \end{aligned}$$

因此

$$\|u_m'\|_{L^2(0, T; H^{-1})}\leq C(\|f\|_{L^2(0, T; L^2)} + \|g\|_{L^2}).$$

综上可以得到和先验估计一致的能量估计:

$$\|u\|_{C([0, T]; L^2)} + \|u\|_{L^2(0, T;H_0^1)} + \|u'\|_{L^2(0, T;H^{-1})}\leq C\|f\|_{L^2(0, T;L^2)} + C\|g\|_{L^2}.$$

存在性

$u_m$ 的收敛性

从上述论述中容易看出, $|u|_{L^2(0, T;H_0^1)}, |u’|_{L^2(0, T;H^{-1})}$ 均有界. 由于 $L^2(I; H)$ 是自反的, 自反空间的有界集是弱*准紧的, 因此存在收敛子列(不妨直接记作 $u_m$ 本身), 使得

$$\begin{aligned} u_m\to u, &\ weak\ in\ L^2(0, T; H_0^1)\\ u_m'\to v, &\ weak\ in\ L^2(0, T; H^{-1}) \end{aligned}$$

显然 $L^2(0,T; \cdot)\subset L^1(0, T; \cdot)$. 任取 $\varphi\in C_0^1(0, T), w\in H_0^1$, 有

$$\begin{aligned} \left(\int_0^T u\varphi', w\right) &= \int_0^T (u, \varphi' w)=\lim \int_0^T(u_m, \varphi'w)\\ &= -\lim\int_0^T(u'_m, \varphi w) = -\int_0^T(v, \varphi w)\\ &=\left(-\int_0^T v\varphi, w\right) \end{aligned}$$

因此 $u’ = v$, 即 $u\in L^2(0, T; H_0^1)$, $u’\in L^2(0, T; H^{-1})$.

极限函数 $u$ 的方程

对任意

$$v = \sum_{k\leq m} d_k(t)w_k, d_k\in C^1([0,T]),$$

我们有

$$\begin{aligned} \int_0^T(u_n', v) + B[u_n, v; t] = (f, v), \forall n\geq m \end{aligned}$$

对 $n$ 取极限可以得到

$$\begin{aligned} \int_0^T(u', v) + B[u, v; t] = (f, v) \end{aligned}$$

由于 $\{v\}$ 在 $L^2(0, T; H_0^1)$ 中稠密, 因此 $u$ 满足

$$\begin{aligned} \int_0^T(u', v) + B[u, v; t] = (f, v), \forall v\in L^2(0, T; H^1_0) \end{aligned}$$

极限函数 $u$ 的初值

我们对等式

$$\begin{aligned} \int_0^T(u_n', v) + B[u_n, v; t] = (f, v) \end{aligned}$$

做分部积分可以得到

$$\begin{aligned} \int_0^T-(u_n, v') + B[u_n, v; t] = (f, v) + (g, v(0)), v\in C^1(0, T; H^1_0), v(T) = 0 \end{aligned}$$

类似地, 取极限可以得到

$$\begin{aligned} \int_0^T-(u_n, v') + B[u_n, v; t] = (f, v) + (g, v(0)), \quad v(T) = 0 \end{aligned}$$

但是根据上一节的推导,

$$\begin{aligned} \int_0^T-(u_n, v') + B[u_n, v; t] = (f, v) + (u(0), v(0)), \quad v(T) = 0 \end{aligned}$$

因此 $u$ 是抛物方程的弱解. 显然也满足先验估计

$$\|u\|_{C([0, T]; L^2)} + \|u\|_{L^2(0, T;H_0^1)} + \|u'\|_{L^2(0, T;H^{-1})}\leq C\|f\|_{L^2(0, T;L^2)} + C\|g\|_{L^2}.$$

唯一性

根据能量估计

$$\|u\|_{C([0, T]; L^2)} + \|u\|_{L^2(0, T;H_0^1)} + \|u'\|_{L^2(0, T;H^{-1})}\leq C\|f\|_{L^2(0, T;L^2)} + C\|g\|_{L^2}.$$

可以得到若 $f = 0, g = 0$, 则 $u = 0$. 即证唯一性.