Banach 值函数

可测性

令 $X$ 是一个实的 Banach 空间, 范数记为 $|\cdot|$. 首先考虑函数

$$f:[0, T]\to X$$

的可测性. 在实分析中, 我们定义的可测函数是可以由简单函数逐点逼近的函数, 那么类似的我们可以定义值域在 Banach 空间中的函数的强可测性: 存在一列简单函数$s_m$ 使得

$$s_m\to f\ a.e. \ 0\leq t\leq T.$$

其中简单函数是具有形式

$$s(t) = \sum_{i=1}^m \chi_{E_i}(t) w_i,\ w_i\in X,$$

$E_i$ 为 $I=(0, T)$ 上的互不相交的可测集. 而类似的可以定义弱可测性: 对于任意 $u\in X$, $t\mapsto \langle{u, f(t)}\rangle $ 是可测函数.

可分函数

我们说函数 $f$ 是可分的当且仅当存在一个零测集 $N$, 使得

$$\{f(t); t\in I\setminus N\}$$

可分.

定理: 函数 $f$ 强可测当且仅当 $f$ 弱可测且可分.

Banach 值函数的积分

简单函数的积分

积分: 对于简单函数

$$s(t) = \sum_{i=1}^m\xi_{E_i}u_i$$

我们定义积分如下,

$$\int_0^T s(t)dt = \sum_{i=1}^m |E_i|u_i.$$

强可测函数的积分

强可测函数 $f$ 可积, 当且仅当存在一列简单函数 $s_k$, 使得

$$\int_0^T \|s_k-f\|dt\to 0\ as\ k\to \infty$$

并将其积分记为

$$\int_0^T f(t)dt = \lim_{k\to \infty} \int_0^T s_k(t)dt.$$

可积性的充要条件

定理: 一个强可测函数 $f$ 可积当且仅当 $t\mapsto |f(t)|$ 可积, 并且

$$\left\|\int_0^T f(t)dt \right\| \leq \int_0^T\|f(t)\|dt,$$

且对于任意 $u^\in X^$,

$$\left\langle u^*, \int_0^T f(t)dt\right\rangle = \int_0^T\langle u^*, f(t)\rangle dt.$$