在使用能量方法中经常需要用到带有时间 $t$ 的 Sobolev 空间. 因此从 Evans 的 PDE 和 Brezis 的 Functional Analysis, Sobolev Space and PDE 中整理出来了一些性质和定理.

在这里令 $I=(0, T)\subset \mathbb R$. 对于带时间 $t$ 的索伯列夫空间而言, 我们考虑其中的元素为 Banach-值函数, 也就是

$$u: I=(0, T)\to (X, \|\cdot\|),$$

一般来说这个 Banach 空间 $X$ 为 $L^p$ 空间或者索伯列夫空间 $H^p$ 或者 $W^{k,p}$. 在这里我们将其记作 $X$. 当然, 在研究索伯列夫空间之前, 搞清楚在 Banach 空间上的 $L^p$ 空间的性质和普通的 $L^p$ 空间之间有什么相似之处又有什么不同之处是很重要的.

带时间 $t$ 的 $L^p$ 空间 $L^p(I; X)$

$L^p$ 空间和连续函数空间

Def: 我们定义带时间的 $L^p$ 空间

$$\begin{aligned} &u\in L^p(I; X)\iff \|u\|_{L^p(I; X)}=\left(\int_0^T\|u(t)\|_X^p\right)^{\frac1p}<+\infty, 1\leq p<\infty\\ &u\in L^\infty(I; X)\iff \|u\|_{L^\infty(I; X)}=ess\sup_{t\in I}\|u(t)\|_X^p<+\infty \end{aligned}$$

类似的, 我们可以定义带时间的连续函数空间,
Def:

$$\begin{aligned} u\in C(\bar I; X) \iff\begin{aligned} &\|u(t)\|_{X}\text{ is continuous}, \\ &\|u\|_{C(\bar I; X)} = \max_{0\leq t\leq T}\|u(t)\|_{X}\leq +\infty \end{aligned} \end{aligned}$$

$L^p$ 空间上的卷积

我们希望类似于 $L^p(I)$, 我们也能在 $L^p(I;X)$ 上做出卷积.

对于 $f\in L^p(I; X)$, 显然有 $F(t) = |f(t)|_X\in L^p(I)$. 因此对于 $G\in L^1(I)$, $|G|\in L^1$, 我们可以得到 $s\mapsto |F(s)G(t-s)|$ 是可积的, 且 $F*G\in L^1(I)$. 因此有

$$\int_I\|f(s)G(t-s)\|dt = \int_I \|f(s)\||G(t-s)|dt = F*|G|(t)\in L^p(I).$$

因此 $t\mapsto f(t) G(t-s)$ 可积, $fG\in L^p(I; X)$. 因此可以定义 $L^p(I;X)$ 与 $L^1(I)$ 的*卷积.

定理: 若 $f\in L^p(I; X)$, $\varphi\in C_0^m(I)$, 则 $f*\varphi\in C^m(I;X)$, 且

$$\frac{d}{dt}(f*\varphi) = f*\frac{d\varphi}{dt}.$$

定理:

$$\int_I f\varphi = 0, \forall \varphi\in C_0^\infty(I)\Rightarrow u = 0\ a.e.$$

对于 $\psi, \varphi\in C_0^\infty$, 我们有

$$\begin{aligned} \varphi*\psi \to \psi \ in\ C_0^\infty, \ supp(\varphi)\to \{0\}. \end{aligned}$$

因此,

$$\begin{aligned} \int_I (f*\varphi)\psi = (f * \varphi) * \check \psi(0) = \int_I f(\check \varphi *\psi) \to \int_I f\psi, \end{aligned}$$

就可以得到如下定理.
定理: 当$supp\varphi\to \{0\}$时,

$$\int_I(f*\varphi)\psi\to \int_If\psi, \forall \psi\in C_0^\infty(I).$$

$L^p$ 空间的弱导数

给定 $L^p$ 函数 $f\in L^p(I; X)$, 对于任意 $\varphi\in C_0^\infty(I)$, 我们可以得到

$$\int_I \|f(t)\varphi(t)\|_Xdt\leq\int_I\|f(t)\|_X|\varphi(t)|dt\leq \|f\|_{L^p(I; X)}\|\varphi\|_{L^{p'}(I)}<\infty.$$

因此 $t\mapsto|f(t)\varphi(t)|_X$ 关于 $t$ 可积. 根据 Banach 值函数的可积的充要条件可知 $t\mapsto f\varphi$ 可积. 那么就可以合理的定义 $L^p$ 函数的弱导数了.

Def: 我们说 $v\in L^p(I; X)$ 是 $u\in L^p(I;X)$ 的弱导数当且仅当对于任意的 $\varphi\in C_0^\infty(I)$, 存在

$$\int_I v(t)\varphi(t)dt = -\int_I u(t)\varphi'(t)dt$$

我们通常将 $v$ 记为 $u’$. 对于给定的 $L^p$ 空间的函数 $u$, 显然其弱导数唯一.

索伯列夫空间 $W^{1, p}(I;X)$