Phragmén–Lindelöf Principle

在复分析中, Phragmén-Lindelöf原理(或方法)首先由Lars Edvard Phragmén(1863-1937)和Ernst Leonard Lindelöf(1870-1946)在1908年提出, 是一种利用辅助的参数化函数来证明全纯函数 $f$ 在无界区域 $\Omega$ 上的有界性

$$|f(z)|<M, z\in \Omega$$

的技术, 其中 $|f|$ 满足条件: $f$ 在$\Omega$上”增长不太大”. 这是极大模原理的推广, 但极大模原理只适用于有界的区域.

背景

一个非常值函数$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$在有界区域 $\Omega$ 上全纯, 并且在其闭包 $\overline {\Omega}=\Omega \cup \partial \Omega$上连续, 那么

$$|f(z_{0})|<\sup _{z\in \partial \Omega }|f(z)|, \forall z_{0}\in \Omega.$$

这被称为最大模原理. 实际上, 因为 $\overline \Omega$ 是紧的, 且 $f$ 是连续函数, 因此存在 $\omega_0\in\overline\Omega$ 满足

$$|f(w_{0})|=\sup _{z\in \Omega }|f(z)|$$

在证明一个全纯函数在其边界上有界后, 通常用最大模原理来断定它在一个区域上有界. 但是需要注意的是, 最大模原理对于无界区域是不成立的.

技术概要

假设存在一个全纯函数 $f$ 和一个无界区域 $S$, 我们想要证明在 $S$ 上有 $|f|\leq M$. 我们引入一个确定的乘子 $h_\varepsilon$ 控制住 $f$.

1. $h_\varepsilon\to 1, \varepsilon\to 0$;
2. $fh_\varepsilon$ 全纯, 并且 $fh_\varepsilon$ 在一个有界子区域 $S_{bdd}\subset S$ 上一致有界, 即 $|fh_\varepsilon|\leq M$.
3. 根据 $f$ 的渐进行为可以得到在 $S\setminus S_{bdd}$ 上有 $fh_\varepsilon\leq M$.

因此我们令 $\varepsilon\to 0$, 我们可以得到 $fh_\varepsilon\to f$, 从而得到 $|f|\leq M$.