Hardy 不等式

$L^p(\mathbb R^+)$ 上的 Hardy 不等式

本段的目的是为了证明如下不等式,

$$\|\frac{1}{x}\int_0^xu(t)\mathrm dt\|_{L^p}\leq \frac{p}{p-1}\|u\|_{L^p}, \forall u\in L^p(\mathbb R^+)$$

对于 $u\in L^p$,

$$\begin{aligned} \left\| \frac{1}{x}\int_0^x u(t)\mathrm dt \right\|_{L^p} &=\left(\int_0^\infty \left|\frac{1}{x} \int_0^x u(t)\mathrm dt\right|^{p} \mathrm dx\right)^{\frac{1}{p}} &=\left(\int_0^\infty \left|\int_0^1 u(tx)\mathrm dt\right|^{p} \mathrm dx\right)^{\frac{1}{p}}. \end{aligned}$$

利用广义闵可夫斯基不等式,

$$\begin{aligned} &\left(\int_0^\infty \left|\int_0^1 u(tx)\mathrm dt\right|^{p} \mathrm dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq \int_0^1 \left( \int_0^\infty |u(tx)|^p \mathrm dt \right)^{\frac{1}{p}} \mathrm dt\\ \leq & \int_0^1 \left( \int_0^\infty |u(s)|^p t^{-1}\mathrm ds \right)^{\frac{1}{p}} \mathrm dt \leq \int_0^1 t^{-\frac{1}{p}} \mathrm dt\|u\|_{L^p} \leq \frac{p}{p-1}\|u\|_{L^p} \end{aligned}$$