傅里叶变换

傅里叶分析的目的是为了将任意的函数 $f$ 分解成一些特征的连续和(积分). 我们不妨将这些特征的集合记作 $\{g_\xi\}$, 也就是说

$$f = \int \hat f_\xi g_\xi d\xi.$$

这些特征显然需要具有一些很好的性质, 比如特征 $g_n(x) = x^n$. 我们可以回忆一下幂级数方法求解微分方程 $y’ = y$, 假设 $y = \sum c_n x^n$, 方程可以写成

$$y' = \sum (n+1)c_{n+1} x^n = \sum c_n x^n = y.$$

而由于幂级数的分解是唯一的, 也就是等式右侧的幂级数系数 $c_n$ 和等式左侧的幂级数的系数 $(n+1)c_{n+1}$相等, 即

$$c_n = (n+1)c_{n+1}\Rightarrow c_n = \frac{c_0}{n!}\Rightarrow y = c_0\sum \frac{1}{n!}x^n = c_0e^x.$$

这样将解分解成一些特征的组合在解方程等方面会带来一些便利.

有的时候, 考虑特征的导数具有一些特殊形式是方便的, 比如对于特征 $g_\xi$, 满足

$$\partial_{x_i}g_\xi(x) = a_i g_\xi(x), \forall i = 1, \cdots, n$$

因此 $g_\xi(x) = C e^{\langle{a, x}\rangle}$, 其中 $a = (a_1, \cdots, a_n)$. 由于需要保证积分的可积性, 我们取 $g_\xi$ 为有界函数, 即

$$g_\xi(x) = e^{2\pi i \xi\cdot x}.$$

那么我们得到的就是傅里叶逆变换的表达式:

$$f(x) = \int \hat f(\xi) e^{2\pi ix\cdot \xi} d \xi,$$

其中系数 $\hat f(\xi)$ 由傅里叶变换

$$\hat f(\xi) = \int f(x)\overline {e^{2\pi x\cdot\xi}}dx = \int f(x)e^{-2\pi i x\cdot \xi}dx$$

给出. 当然这只是形式上的推导过程, 这是不严格的, 需要后续完善, 比如求导是不是可以放到积分号内部, 傅里叶积分是否可积, 傅里叶变换是否可以延拓到更大的空间中?

基本内容

基本空间上的傅里叶变换

Schwartz 空间 $\mathscr S(\mathbb R^n)$ 是一个 $C^\infty$ 函数空间, 满足条件

$$u\in \mathscr S\iff \sup_{x\in\mathbb R^n}|x^\alpha\partial_x^\beta u(x)|<\infty, \forall \alpha, \beta\in \mathbb N^n.$$

其中 $\alpha, \beta$ 是指标. 有一个简单的 Schwartz 函数却不是 $C^\infty_0$ 的例子是

$$v_A(x) = e^{-\pi \langle Ax, x\rangle},$$

其中 $A$ 是对称正定矩阵. $v_A\in\mathscr S$ 是容易验证的.

证明请点击:

考虑 $\varphi=\langle Ax, x \rangle$, 显然有 $\partial_i\varphi = 2\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j.$ 因此可以得到 $$ \partial_i v_A(x) = (\partial_i\varphi)v_A(x) = \left(-2\sum_{j=1}^na_{ij}x_j \right)v_A(x)=:f_i(x) v_A(x) $$ 不妨假设 $\partial_x^\alpha v_A = f_{\alpha}(x)v_A$, 其中 $f_\alpha$ 是一个最高次项次数为 $|\alpha|$ 的多项式. 对于 $\alpha'=\alpha+e_i$, 我们有 $$ \begin{aligned} &\partial_x^{\alpha'}v_A = \partial_i\partial_x^{\alpha}v_A =\partial_i\left(f_\alpha v_A\right)\\ =&(\partial_if_\alpha)v_A + f_\alpha\partial_iv_A = (\partial_i f_\alpha + f_if_\alpha)v_A=:f_{\alpha'}v_A \end{aligned} $$ 因此 $$ x^\alpha\partial_x^\beta v_A = f_{\alpha, \beta}(x)v_A, $$ 其中 $f_{\alpha, \beta}$ 是一个多项式, 而 $f v_A$ 在无穷远处为 0, 又因为光滑函数在紧集上一致有界, 因此 $$ |x^\alpha\partial_x^\beta v_A|\leq C. $$

对于 Schwartz 函数 $u\in\mathscr S$, 显然有 $u\in L^1$. 这是因为

$$\int|u(x)| dx \leq \int \langle x\rangle^{-k}dx \cdot\|\langle x\rangle^ku(x)\|_{L^{\infty}}.$$

因此 $u(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi}$ 是绝对可积的. 因此我们可以定义 $u(x)\in\mathscr S$ 的傅里叶变换 $\hat u(\xi)$ :

$$\mathscr F[u]:=\hat u(\xi)=\int_{\mathbb R^n_x}e^{-2\pi ix\cdot\xi}u(x)dx.\tag{1.1}$$

可以从傅里叶变换的定义式 $(1.1)$ 上应用分部积分公式, 以及控制收敛定理可以得到

$$\begin{aligned} \mathscr F[\partial_x^{\alpha}u] (\xi) = \int e^{-2\pi ix\cdot \xi}\partial_x^\alpha udx = (-1)^{|\alpha|}\int u\partial_x^\alpha e^{-2\pi ix\cdot\xi}dx = (2\pi i)^{|\alpha|}\mathscr F[u](\xi).\\ \partial_\xi^\alpha\mathscr F[u] (\xi) = \int u \partial_\xi^\alpha e^{-2\pi ix\cdot \xi}dx = \int (-2\pi ix)^{\alpha}ue^{-2\pi ix\cdot\xi}dx = (-2\pi i)^{|\alpha|}\mathscr F[x^\alpha u](\xi) \end{aligned}\tag{1.2}$$

容易从 $(1.1)$ 中看出, 傅里叶变换是一个线性变换, 因此可以如下定义微分算子 $D$

$$D_x^\alpha = (2\pi i)^{-|\alpha|}\partial_x^\alpha, D_\xi^\alpha = (2\pi i)^{-|\alpha|}\partial_\xi^\alpha.$$

从而得到微分算子 $D$ 和傅里叶变换之间的关系:

$$\mathscr F[D_x^\alpha u] = \xi^\alpha\mathscr F[u], \mathscr F[x^\alpha u] = (-1)^{|\alpha|}D_\xi^{\alpha}\mathscr F[u].$$

而对于下式

$$|\xi^\alpha D_\xi^\beta\mathscr F[u]|=|\mathscr F[D_x^\alpha(x^\beta u)]|\leq \int|D_x^\alpha(x^\beta u(x))|dx\leq C_{\alpha,\beta}\|\langle x\rangle^{n+1} u(x)\|_{L^\infty},$$

我们可以得出, $\hat u\in\mathscr S$, 并且若 $u_n\to 0$ in $\mathscr S$, 可以得到 $\hat {u_n}\to 0$ in $\mathscr S$, 即 $\mathscr F$ 是 $\mathscr S$ 上的一个连续线性变换.

注: 在 Schwartz 空间中收敛性是如下定义的:

$$x^\alpha D_x^\beta u_n\rightrightarrows x^\alpha D_x^\beta u, \forall \alpha, \beta.$$

广义函数空间上的傅里叶变换

但是对于函数而言, Schwartz 函数类还是太少了, 常值函数 $1$ , 单位冲激函数 $\delta$, 指数函数 $e^x$, 三角函数 $sin x$ 等均不是 Schwartz 函数类中的函数. 因此可以类比广义函数, 我们取 $\mathscr S’$ 作为广义函数, 希望能将傅里叶变换延拓到 $\mathscr S’$ 上. 我们注意到这样一个事实, 对于任意 $u, v\in \mathscr S$, 我们有如下等式:

$$\begin{aligned} &\langle \hat u, v\rangle_{L^2} = \int \hat u(x)\overline{v(x)}dx \\ =& \iint u(y)\overline{v(x)}e^{-2\pi ix\cdot y}dxdy\\ =&\int u(y)\overline{\hat v(y)}dy = \langle u, \hat v\rangle_{L^2}. \end{aligned}\tag{1.3}$$

因此对于 Schwartz 广义函数类我们构造如下变换: 任取 $T\in\mathscr S’, u\in\mathscr S$,

$$\langle \hat T, u\rangle_{\mathscr S', \mathscr S} := \langle T, \hat u\rangle_{\mathscr S', \mathscr S}.$$

我们需要验证 $\hat T\in \mathscr S’$, 线性性和连续性都可以直接由 $\mathscr S$ 上的傅里叶变换的线性性与连续性得出. $(1.3)$ 给出了 $\mathscr S\subset\mathscr S’$ 上的相容性, 即 $u\in \mathscr S$ 对应的傅里叶变换 $\mathscr F_{\mathscr S}(u)$ 和 $u$ 作为 $\mathscr S’$ 中的元素所作的傅里叶变换 $\mathscr F_{\mathscr S’} (u)$ 一致.

$L^2$ 空间上的傅里叶变换

同样, $\mathscr F$ 作为 $\mathscr S$ 上的有界线性算子, 根据 $\mathscr S$ 在 $L^2$ 上的稠密性, 可以直接将傅里叶算子延拓成 $L^2$ 上的有界线性算子.