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傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶分析的目的是为了将任意的函数 f 分解成一些特征的连续和(积分). 我们不妨将这些特征的集合记作 {gξ}, 也就是说

f=ˆfξgξdξ.

这些特征显然需要具有一些很好的性质, 比如特征 gn(x)=xn. 我们可以回忆一下幂级数方法求解微分方程 y=y, 假设 y=cnxn, 方程可以写成

y=(n+1)cn+1xn=cnxn=y.

而由于幂级数的分解是唯一的, 也就是等式右侧的幂级数系数 cn 和等式左侧的幂级数的系数 (n+1)cn+1相等, 即

cn=(n+1)cn+1cn=c0n!y=c01n!xn=c0ex.

这样将解分解成一些特征的组合在解方程等方面会带来一些便利.

有的时候, 考虑特征的导数具有一些特殊形式是方便的, 比如对于特征 gξ, 满足

xigξ(x)=aigξ(x),i=1,,n

因此 gξ(x)=Cea,x, 其中 a=(a1,,an). 由于需要保证积分的可积性, 我们取 gξ 为有界函数, 即

gξ(x)=e2πiξx.

那么我们得到的就是傅里叶逆变换的表达式:

f(x)=ˆf(ξ)e2πixξdξ,

其中系数 ˆf(ξ) 由傅里叶变换

ˆf(ξ)=f(x)¯e2πxξdx=f(x)e2πixξdx

给出. 当然这只是形式上的推导过程, 这是不严格的, 需要后续完善, 比如求导是不是可以放到积分号内部, 傅里叶积分是否可积, 傅里叶变换是否可以延拓到更大的空间中?

基本内容

基本空间上的傅里叶变换

Schwartz 空间 S(Rn) 是一个 C 函数空间, 满足条件

uSsupxRn|xαβxu(x)|<,α,βNn.

其中 α,β 是指标. 有一个简单的 Schwartz 函数却不是 C0 的例子是

vA(x)=eπAx,x,

其中 A 是对称正定矩阵. vAS 是容易验证的.

证明请点击: 考虑 φ=Ax,x, 显然有 iφ=2nj=1aijxj. 因此可以得到 ivA(x)=(iφ)vA(x)=(2nj=1aijxj)vA(x)=:fi(x)vA(x) 不妨假设 αxvA=fα(x)vA, 其中 fα 是一个最高次项次数为 |α| 的多项式. 对于 α=α+ei, 我们有 αxvA=iαxvA=i(fαvA)=(ifα)vA+fαivA=(ifα+fifα)vA=:fαvA 因此 xαβxvA=fα,β(x)vA, 其中 fα,β 是一个多项式, 而 fvA 在无穷远处为 0, 又因为光滑函数在紧集上一致有界, 因此 |xαβxvA|C.

对于 Schwartz 函数 uS, 显然有 uL1. 这是因为

|u(x)|dxxkdxxku(x)L.

因此 u(x)e2πixξ 是绝对可积的. 因此我们可以定义 u(x)S 的傅里叶变换 ˆu(ξ) :

F[u]:=ˆu(ξ)=Rnxe2πixξu(x)dx.

可以从傅里叶变换的定义式 (1.1) 上应用分部积分公式, 以及控制收敛定理可以得到

F[αxu](ξ)=e2πixξαxudx=(1)|α|uαxe2πixξdx=(2πi)|α|F[u](ξ).αξF[u](ξ)=uαξe2πixξdx=(2πix)αue2πixξdx=(2πi)|α|F[xαu](ξ)

容易从 (1.1) 中看出, 傅里叶变换是一个线性变换, 因此可以如下定义微分算子 D

Dαx=(2πi)|α|αx,Dαξ=(2πi)|α|αξ.

从而得到微分算子 D 和傅里叶变换之间的关系:

F[Dαxu]=ξαF[u],F[xαu]=(1)|α|DαξF[u].

而对于下式

|ξαDβξF[u]|=|F[Dαx(xβu)]||Dαx(xβu(x))|dxCα,βxn+1u(x)L,

我们可以得出, ˆuS, 并且若 un0 in S, 可以得到 ^un0 in S, 即 FS 上的一个连续线性变换.

注: 在 Schwartz 空间中收敛性是如下定义的:

xαDβxun

广义函数空间上的傅里叶变换

但是对于函数而言, Schwartz 函数类还是太少了, 常值函数 1 , 单位冲激函数 \delta, 指数函数 e^x, 三角函数 sin x 等均不是 Schwartz 函数类中的函数. 因此可以类比广义函数, 我们取 \mathscr S’ 作为广义函数, 希望能将傅里叶变换延拓到 \mathscr S’ 上. 我们注意到这样一个事实, 对于任意 u, v\in \mathscr S, 我们有如下等式:

因此对于 Schwartz 广义函数类我们构造如下变换: 任取 T\in\mathscr S’, u\in\mathscr S,

我们需要验证 \hat T\in \mathscr S’, 线性性和连续性都可以直接由 \mathscr S 上的傅里叶变换的线性性与连续性得出. (1.3) 给出了 \mathscr S\subset\mathscr S’ 上的相容性, 即 u\in \mathscr S 对应的傅里叶变换 \mathscr F_{\mathscr S}(u)u 作为 \mathscr S’ 中的元素所作的傅里叶变换 \mathscr F_{\mathscr S’} (u) 一致.

L^2 空间上的傅里叶变换

同样, \mathscr F 作为 \mathscr S 上的有界线性算子, 根据 \mathscr SL^2 上的稠密性, 可以直接将傅里叶算子延拓成 L^2 上的有界线性算子.

文章作者: Letter Wu
文章链接: https://letterwu.github.io/2022/03/04/傅里叶变换/
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