傅里叶变换
傅里叶分析的目的是为了将任意的函数 f 分解成一些特征的连续和(积分). 我们不妨将这些特征的集合记作 {gξ}, 也就是说
f=∫ˆfξgξdξ.这些特征显然需要具有一些很好的性质, 比如特征 gn(x)=xn. 我们可以回忆一下幂级数方法求解微分方程 y′=y, 假设 y=∑cnxn, 方程可以写成
y′=∑(n+1)cn+1xn=∑cnxn=y.而由于幂级数的分解是唯一的, 也就是等式右侧的幂级数系数 cn 和等式左侧的幂级数的系数 (n+1)cn+1相等, 即
cn=(n+1)cn+1⇒cn=c0n!⇒y=c0∑1n!xn=c0ex.这样将解分解成一些特征的组合在解方程等方面会带来一些便利.
有的时候, 考虑特征的导数具有一些特殊形式是方便的, 比如对于特征 gξ, 满足
∂xigξ(x)=aigξ(x),∀i=1,⋯,n因此 gξ(x)=Ce⟨a,x⟩, 其中 a=(a1,⋯,an). 由于需要保证积分的可积性, 我们取 gξ 为有界函数, 即
gξ(x)=e2πiξ⋅x.那么我们得到的就是傅里叶逆变换的表达式:
f(x)=∫ˆf(ξ)e2πix⋅ξdξ,其中系数 ˆf(ξ) 由傅里叶变换
ˆf(ξ)=∫f(x)¯e2πx⋅ξdx=∫f(x)e−2πix⋅ξdx给出. 当然这只是形式上的推导过程, 这是不严格的, 需要后续完善, 比如求导是不是可以放到积分号内部, 傅里叶积分是否可积, 傅里叶变换是否可以延拓到更大的空间中?
基本内容
基本空间上的傅里叶变换
Schwartz 空间 S(Rn) 是一个 C∞ 函数空间, 满足条件
u∈S⟺supx∈Rn|xα∂βxu(x)|<∞,∀α,β∈Nn.其中 α,β 是指标. 有一个简单的 Schwartz 函数却不是 C∞0 的例子是
vA(x)=e−π⟨Ax,x⟩,其中 A 是对称正定矩阵. vA∈S 是容易验证的.
证明请点击:
考虑 φ=⟨Ax,x⟩, 显然有 ∂iφ=2∑nj=1aijxj. 因此可以得到 ∂ivA(x)=(∂iφ)vA(x)=(−2n∑j=1aijxj)vA(x)=:fi(x)vA(x) 不妨假设 ∂αxvA=fα(x)vA, 其中 fα 是一个最高次项次数为 |α| 的多项式. 对于 α′=α+ei, 我们有 ∂α′xvA=∂i∂αxvA=∂i(fαvA)=(∂ifα)vA+fα∂ivA=(∂ifα+fifα)vA=:fα′vA 因此 xα∂βxvA=fα,β(x)vA, 其中 fα,β 是一个多项式, 而 fvA 在无穷远处为 0, 又因为光滑函数在紧集上一致有界, 因此 |xα∂βxvA|≤C.对于 Schwartz 函数 u∈S, 显然有 u∈L1. 这是因为
∫|u(x)|dx≤∫⟨x⟩−kdx⋅‖⟨x⟩ku(x)‖L∞.因此 u(x)e−2πix⋅ξ 是绝对可积的. 因此我们可以定义 u(x)∈S 的傅里叶变换 ˆu(ξ) :
F[u]:=ˆu(ξ)=∫Rnxe−2πix⋅ξu(x)dx.可以从傅里叶变换的定义式 (1.1) 上应用分部积分公式, 以及控制收敛定理可以得到
F[∂αxu](ξ)=∫e−2πix⋅ξ∂αxudx=(−1)|α|∫u∂αxe−2πix⋅ξdx=(2πi)|α|F[u](ξ).∂αξF[u](ξ)=∫u∂αξe−2πix⋅ξdx=∫(−2πix)αue−2πix⋅ξdx=(−2πi)|α|F[xαu](ξ)容易从 (1.1) 中看出, 傅里叶变换是一个线性变换, 因此可以如下定义微分算子 D
Dαx=(2πi)−|α|∂αx,Dαξ=(2πi)−|α|∂αξ.从而得到微分算子 D 和傅里叶变换之间的关系:
F[Dαxu]=ξαF[u],F[xαu]=(−1)|α|DαξF[u].而对于下式
|ξαDβξF[u]|=|F[Dαx(xβu)]|≤∫|Dαx(xβu(x))|dx≤Cα,β‖⟨x⟩n+1u(x)‖L∞,我们可以得出, ˆu∈S, 并且若 un→0 in S, 可以得到 ^un→0 in S, 即 F 是 S 上的一个连续线性变换.
注: 在 Schwartz 空间中收敛性是如下定义的:
xαDβxun⇉
广义函数空间上的傅里叶变换
但是对于函数而言, Schwartz 函数类还是太少了, 常值函数 1 , 单位冲激函数 \delta, 指数函数 e^x, 三角函数 sin x 等均不是 Schwartz 函数类中的函数. 因此可以类比广义函数, 我们取 \mathscr S’ 作为广义函数, 希望能将傅里叶变换延拓到 \mathscr S’ 上. 我们注意到这样一个事实, 对于任意 u, v\in \mathscr S, 我们有如下等式:
因此对于 Schwartz 广义函数类我们构造如下变换: 任取 T\in\mathscr S’, u\in\mathscr S,
我们需要验证 \hat T\in \mathscr S’, 线性性和连续性都可以直接由 \mathscr S 上的傅里叶变换的线性性与连续性得出. (1.3) 给出了 \mathscr S\subset\mathscr S’ 上的相容性, 即 u\in \mathscr S 对应的傅里叶变换 \mathscr F_{\mathscr S}(u) 和 u 作为 \mathscr S’ 中的元素所作的傅里叶变换 \mathscr F_{\mathscr S’} (u) 一致.
L^2 空间上的傅里叶变换
同样, \mathscr F 作为 \mathscr S 上的有界线性算子, 根据 \mathscr S 在 L^2 上的稠密性, 可以直接将傅里叶算子延拓成 L^2 上的有界线性算子.