拟微分算子
一个 $m$ 阶的微分算子可以写成如下形式
其中 $\alpha\in \mathbb{Z}^n$ 是多重指标, $i^{|\alpha|}D_x^\alpha=\partial_x^\alpha$. 这个微分算子的象征是一个关于 $\xi$ 的多项式
对于 $u\in\mathscr S$, 对其做傅里叶变换可以得到 $\hat u\in \mathscr S$, 且 $\mathscr{F}(D_x^\alpha u)(\xi)=\xi^\alpha \hat u(\xi)$. 那么可以得到
而
因此不妨对于给定的函数 $a(x, \xi)$, 形式地定义
首先要保证傅里叶变换有意义, 故我们先考虑 $u\in \mathscr S$, 因此 $a$ 就是一个从 $\mathscr S$ 上的一个拟微分算子.
将 $a(x,D)u$ 作为 $\mathscr S^*$ 上的元素作用在 $\mathscr S$ 上, 可以得到.
我们可以得到 $\hat u(\xi)\bar v(x) e^{2\pi ix\cdot \xi}\in \mathscr S’(\mathbb{R}^{2n}_{x, \xi})$.
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$$ D_x^\alpha D_\xi^\beta e^{2\pi ix\cdot \xi}=D_x^\alpha[x^\beta e^{2\pi i x\cdot \xi}] = C_{\alpha, \beta}\sum_{\gamma\leq \alpha, \beta}x^{\beta-\gamma}\xi^{\alpha-\gamma}e^{2\pi ix\cdot \xi}, $$ 因此可以得到 $$ |x^k\xi^lD^\alpha_x D_\xi^\beta[\hat u(\xi)\bar v(x)e^{2\pi ix\cdot\xi}]|\leq C\sum_{\tiny\begin{aligned}\alpha_1+\alpha_2=\alpha\\\beta_1+\beta_2=\beta\\\gamma\leq \alpha_2, \beta_2\end{aligned}}|x^{k+\beta_2-\gamma } D_x^{\alpha_1}\bar v(x) | | \xi^{l+\alpha_2-\gamma} D_\xi^{\beta_1} \hat u(\xi) |\leq C. $$ 即 $\hat u\bar v e^{2\pi ix\cdot \xi}\in \mathscr S(\mathbb{R}^{2n}_{x, \xi})$.因此可以定义象征 $a\in \mathscr S’(\mathbb{R}^{2n}_{x, \xi})$ 对应的算子 $a(x, D)$ :
定义: 若 $a\in\mathscr S’(\mathbb{R}^{2n}_{x, \xi})$, 对于任意 $u\in \mathscr S$, 我们可以如下给出 $a(x, D)u\in \mathscr S^*$
从而我们定义了一个从 $\mathscr S$ 到 $\mathscr S^*$ 的拟微分算子 $a(x, D)$.
当然, 由于 $a\in\mathscr S’(\mathbb{R}^{2n}_{x, \xi})$ 较为抽象, 平常很难用到. 我们实际上使用的一些较为特殊的 $a$, 例如对于有界的无穷可微函数 $C_b^\infty$ 中, 拟微分算子具有很好的性质.
定理: 若 $a\in C_b^\infty$, 那么算子 $a(x, D)$ 是一个从 $\mathscr S$ 到 $\mathscr S$ 的一个连续算子.
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我们先通过定义: $$ \int a(x, D)u(x)\bar v(x)dx = \int \left(\int a(x, \xi)\hat u(\xi)e^{2\pi ix\cdot\xi} d\xi \right)\bar v(x)dx , \forall v\in \mathscr S. $$ 由于 $a(x, \xi)\in C_b^\infty\subset L^\infty_\xi$, $\hat u(\xi)\in \mathscr S\subset L^1_\xi$, 则 $a(x, \xi)\hat u(\xi)\in L^1_{\xi}$. 我们可以看出 $$ a(x, D)u = \int a(x, \xi)\hat u(\xi)e^{2\pi ix\cdot\xi}d\xi. $$ 不妨将 $a(x, D)$ 记为 $A$. 接下来需要证明 $Au\in\mathscr S$, 即 $$ \sup_{x\in \mathbb R ^n}|x^\alpha D_x^\beta Au|\leq C. $$ 我们容易得到 $$ \begin{aligned} &\left|D_x^\alpha[a(x, \xi)\hat u(\xi)e^{2\pi ix\cdot\xi}]\right|\\ \leq& |\hat u(\xi)|\sum_{\alpha_1+\alpha_2=\alpha}|D_x^{\alpha_1}a(x, \xi)|\cdot|\xi^{\alpha_2}|\\ \leq & \langle \xi\rangle^{-2n-1}\sum_{\alpha_1+\alpha_2=\alpha}|D_x^{\alpha_1}a(x,\xi)|\cdot|\xi^{\alpha_2+2n+1}\hat u(\xi)|\\ \leq &C\langle \xi\rangle^{-2n-1} \end{aligned} $$ 根据控制收敛定理可以得到 $$ D_x^\alpha\int a(x, \xi)\hat u(\xi)e^{2\pi ix\cdot \xi}d\xi = \int D_x^\alpha a(x, \xi)\hat u(\xi)e^{2\pi ix\cdot \xi}d\xi. $$ 因此 $$ \begin{aligned} &x^\alpha D_x^\beta Au\\ =& \int x^\alpha D_x^\beta [a(x, \beta)e^{2\pi ix\cdot \xi}]\hat u(\xi) d\xi\\ =&\sum_{\beta_1+\beta_2=\beta} C\int D_x^{\beta_1}a(x, \xi) [x^\alpha e^{2\pi ix\cdot\xi}][\xi^{\beta_2}\hat u(\xi)]d\xi\\ =&\sum_{\beta_1+\beta_2=\beta} C\int D_x^{\beta_1}a(x, \xi) [D_\xi^\alpha e^{2\pi ix\cdot\xi}][\xi^{\beta_2}\hat u(\xi)]d\xi\\ =& \sum_{\beta_1 + \beta_2=\beta}C\left(\int D_{\xi}^\alpha[D_x^{\beta_1}a(x, \xi) \xi^{\beta_2} \hat u(\xi) e^{2\pi i x\cdot\xi}]d \xi - \int D_{\xi}^\alpha[D_x^{\beta_1}a(x, \xi) \xi^{\beta_2} \hat u(\xi)] e^{2\pi i x\cdot\xi}d \xi \right) \end{aligned} $$ 固定 $x$, 对任意 $\alpha'$ 均满足 $$ |D_\xi^{\alpha'}[D_x^{\beta_1}a(x, \xi) \xi^{\beta_2}\hat u(\xi)e^{2\pi ix\cdot\xi}]| =\sum |D^{\alpha_1}_{x, \xi} a(x, \xi)\xi^{\alpha_2}D_\xi^{\alpha_3}\hat u(\xi)|. $$ 又因为 $\lim|\xi^k\hat u|=0$, 我们可以得到 $$ \lim_{|\xi|\to\infty}D_\xi^{\alpha'}[D_x^{\beta_1}a(x, \xi) \xi^{\beta_2}\hat u(\xi)e^{2\pi ix\cdot\xi}]=0. $$ 因此 $$ \int D_{\xi}^\alpha[D_x^{\beta_1}a(x, \xi) \xi^{\beta_2} \hat u(\xi) e^{2\pi i x\cdot\xi}]d \xi=0 $$ 可以得到 $$ \begin{aligned} &|x^\alpha D_x^\beta Au|\leq C \sum \int |D_{x, \xi}^{\alpha_1}a(x, \xi)\xi^{\alpha_2}D_\xi^{\alpha_3}\hat u(\xi)|d\xi\\\leq & C\int\langle\xi\rangle^{-2n-1}d\xi\sum_{\small\begin{aligned}\alpha'\leq \alpha\\\beta'\leq\beta\end{aligned}}\|\xi^{\alpha'+2n+1}D_\xi^{\beta'}\hat u(\xi)\|_{L^\infty}. \end{aligned} $$ 而傅里叶变换 $\mathscr F$ 是一个连续算子, 因此当 $u_n\to 0\in \mathscr S$, 即 $\sup|x^\alpha D_x^\beta u|\to 0\ \forall \alpha,\beta$ 时, $$ \sup|\xi^\alpha D_\xi^{\beta}\hat u|\to 0, \forall \alpha, \beta $$ 从而 $$ \sup|x^\alpha D_x^\beta Au|\to 0, \forall \alpha , \beta. $$
Schwartz空间 $\mathscr S(\mathbb R^{2n})$ 在Frechet空间 $C_b^\infty(\mathbb R^{2n})$ 空间内不是稠密的. 因为 $1\in C_b^\infty$, 但是对于任意的施瓦茨函数 $\varphi\in \mathscr S$,
这是因为 $\lim_{|y|\to\infty}\varphi=0$. 但是对于 $\forall a\in C_b^\infty$, 令
可以证明 $a_k\in\mathscr S$, 且 $(a_k)\subset C_b^\infty$ 是有界序列, 并且在 $C^\infty$ 空间上收敛到 $a$.
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令 $u_k=e^{-\frac{|y|^2}{k^2}}$, 我们可以计算它的导数: $$ \partial_y^\alpha u_k = k^{-|\alpha|}f_\alpha(\frac yk)u_k, $$ 其中 $f_{\alpha}$ 是一个最高次项为 $|\alpha|$ 的多项式. 可以用归纳法证明: $\alpha=0$ 的时候显然成立, 而 $\alpha'=(\alpha_1, \cdots, \alpha_i+1, \cdots)=\alpha + e_i$, 那么有 $$ \begin{aligned} &\partial_y^{\alpha'}u_k = \partial_{y_i}\partial_y^{\alpha}u_k = \partial_{y_i}(k^{-|\alpha|}f_{\alpha}(\frac yk)u_k)\\ =& k^{-|\alpha|}\partial_{y_i}f_{\alpha}(\frac yk)u_k + k^{-|\alpha|}f_{\alpha}(\frac yk)\partial_{y_i}u_k\\ =&k^{-|\alpha|-1}f_\alpha'(\frac yk)u_k + k^{-|\alpha|}f_{\alpha}(\frac yk)(-2\frac{y_i}{k^2} )u_k\\ =&k^{-|\alpha|-1}(f'_\alpha-2\frac{y_i}k f_\alpha)u_k\\ =:&k^{-|\alpha|-1}f_{\alpha'}(\frac yk)u_k. \end{aligned}\tag{1.1} $$ 因此我们要证 $a_k\in\mathscr S$, 只需证明 $$ \sup_{\mathbb R^{2n}}|y^\alpha\partial_y^\beta a_k|\leq C_k. $$ 而 $$ y^\alpha\partial_y^\beta a_k = \sum_{\beta'+\beta''=\beta} \frac{\beta!}{\beta'!\beta''!}y^\alpha(\partial_y^{\beta'}a)(\partial_y^{\beta''}u_k) = \sum_{\beta'+\beta''=\beta} \frac{\beta!}{\beta'!\beta''!}y^\alpha(\partial_y^{\beta'}a)k^{-|\beta''|}f_{\beta''}(\frac yk)u_k.\tag{1.2} $$ 在 $(1.2)$ 的求和符号中, 是对有限项求和, 而 $a\in C_b^\infty, u_k\in \mathscr S$, 因此 $|y^\alpha\partial_y^\beta a_k|\leq C_k$. 欲证 $a_k$ 在 $C_b^\infty$ 上有界, 只需证明 $$ \sup_{\mathbb R^{2n}}|\partial^\alpha_y a_k|\leq C_{\alpha}, \forall k=1, 2, \cdots. $$ 这可以直接从 $(1.1)$ 得出: $$ |\partial_y^\alpha a_k|\leq \sum_{\alpha'+\alpha''=\alpha}|\partial_y^{\alpha'}a|\cdot|\partial_y^{\alpha''}u_k|\leq C\sum_{\alpha'+\alpha''=\alpha}\|\partial_y^{\alpha'}a\|. $$ 只剩证明 $a_k\to a\in C^{\infty}$, 即对任意紧集 $K\subset\mathbb R^{2n}$, $$ \partial_y^\alpha a_k\rightrightarrows\partial_y^\alpha a. $$ 从 $(1.1)$ 可以得出, $$ \partial^\alpha u_k = k^{-|\alpha|}f_\alpha(\frac yk)u_k = k^{-|\alpha|}f_\alpha(\frac yk) u_1(\frac yk). $$ 因此当 $|\alpha|>0$ 时, $$ \sup_{\mathbb R^{2n}}|\partial^\alpha u_k| = k^{-|\alpha|}\sup_{\mathbb R^{2n}}|\partial^\alpha u_1|\to 0, k\to \infty. $$ 而在紧集 $K\subset\{|x|\leq A\}$ 中, $$ \sup_{K}|1-u_k(y)|\leq 1-e^{-(\frac{A}{k})^2}\to 0, k\to \infty. $$ 因此对于 $$ \partial_y^\alpha(a_k-a) = (\partial^\alpha a)(1-u_k)+\sum_{0<\alpha'\leq \alpha}C (\partial_y^{\alpha'}a)\partial_y^{\alpha-\alpha'}u_k $$ 来说, $$ \partial_y^\alpha(a_k-a)\rightrightarrows0, \ in \ K. $$
关于 $\langle x\rangle=(1+|x|^2)^{1/2}$, 我们有如下不等式:
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对于 $\partial_x^{\alpha}\langle x\rangle^{-k}$, 我们有如下等式: $$ \partial_x^\alpha \langle x\rangle^{-k} = \sum_{\beta\leq\alpha}a_{\beta}^\alpha x^\beta \langle x\rangle^{-k-|\beta|-|\alpha|}. $$ 因为 $$ \partial_i\langle x\rangle^{-k} = (-k)x_i \langle x\rangle^{-k-2}, $$ 然后利用归纳法, $$ \partial^{\alpha'}\langle x\rangle^{-k} =\partial_i(\partial^{\alpha}\langle x\rangle^{-k}) =\sum_{\beta\leq \alpha'}a^{\alpha'}_\beta x^{\beta}\langle x\rangle^{-k-|\alpha'|-|\beta|} $$ 因此, $$ |\partial_x^\alpha \langle x\rangle^{-k}| =\sum_{\beta\leq\alpha}|a_{\beta}^\alpha| \langle x\rangle^{|\beta|} \langle x\rangle^{-k-|\alpha|-|\beta|} \leq C\sum_{\beta\leq \alpha}\langle x\rangle^{-k-|\alpha|} \leq C\langle x\rangle^{-k} $$
定理: 令 $a\in C_b^\infty$, 算子 $a(x, D)$ 是 $L^2$ 上的有界线性算子.
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因为 $\mathscr S$ 在 $L^2$ 上稠密, 因此只需证明 $$ |\langle a(x, D)u, v\rangle|\leq C\|u\|_{L^2}\|v\|_{L^2}. $$ 取 $\forall k\in 2\mathbb N: k > n$. 因为 $$ \int\langle x-y\rangle^{-k}|u(y)e^{-2\pi iy\cdot \xi}|dy\leq \left(\int|u|^2dy\right)^{\frac12}\left(\int \langle x-y\rangle^{-k}dy\right)^{\frac12}=C\|u\|_{L^2}, $$ 令 $$ \begin{aligned} &W_u(x,\xi) = \int \langle x-y\rangle^{-k}u(y)e^{-2\pi iy\cdot\xi}dy\\ &W_{\bar {\hat v}}(x, \xi) = \int \langle \xi-\eta\rangle^{-k}\overline{\hat v(\xi)}e^{-2\pi i\eta\cdot x}d\eta. \end{aligned} $$ 可以看出 $\langle D_\xi\rangle^k(W_u e^{2\pi i x\cdot \xi})=\hat u(\xi)e^{2\pi ix\cdot\xi}$, $\langle D_x\rangle^{k}(W_{\bar{\hat v}}e^{2\pi ix\cdot \xi}) = \overline{v(x)}e^{2\pi ix\cdot \xi}$. 因此 $$ \begin{aligned} \langle a(x, D)u, v\rangle &=\iint a(x, \xi)\hat u(\xi)\overline v(x)e^{2\pi i x\cdot\xi}dxd\xi \\ &=\iint a(x, \xi) \langle D_\xi\rangle^k (W_u e^{2\pi ix\cdot\xi})\bar v(x)dxd\xi\\ &=\iint(\langle D_\xi\rangle^k a)W_ue^{2\pi ix\cdot \xi}\bar v(x)dxd\xi\\ &=\iint(\langle D_\xi\rangle^k a)W_u \langle D_x\rangle^k(W_{\hat{\bar v}} e^{2\pi ix\cdot \xi})dxd\xi\\ &=\sum_{k'+k''=k}\frac{k!}{k'!k''!}\iint(\langle D_x\rangle^{k'}\langle D_\xi\rangle^ka)(\langle D_x\rangle^{k''}W_u)W_{\bar{\hat v}}dxd\xi. \end{aligned} $$ 但是根据不等式 $(1.3)$, 可以得到 $$ \begin{aligned} |\partial_x^{\alpha}W_u| &= \int |\partial_x^\alpha\langle x-y\rangle^{-k}u(y)e^{-2\pi iy\cdot\xi}|dy\\ &\leq C_\alpha\int|\langle x-y\rangle^{-k}u(y)e^{-2\pi iy\cdot\xi}|dy\\ &\leq C\|u\|_{L^2} \end{aligned} $$ 因此 $$ |\langle a(x, D)u, v\rangle|\leq C\left(\sum \|\langle D_x\rangle^{k'}\langle D_\xi\rangle^k a\|_{L^\infty} \right)\|u\|_{L^2}\|v\|_{L^2}. $$
