广义函数

本文整理自陈恕行老师的”线代偏微分方程导论”, 以及 Hormander 的 “The analysis of linear partial differential operators I”.

基本空间 $\mathscr{S}(\mathbb R ^n)$

DEF: 如果定义在函数 $\varphi(x)\in C^\infty(\mathbb R^n)$ 满足

$$\lim_{|x|\to\infty}|x^\alpha\partial_x^\beta\varphi(x)| = 0, \forall \alpha, \beta\in \mathbb Z^n$$

那么就称 $\varphi$ 为速降函数， 记 $\mathscr S(\mathbb R^n)$ 为速降函数空间.

等价定义

定理： 速降函数的定义和一下两条件之一等价：

1. 任意重指标 $\alpha, \beta$, $|x^\alpha\partial_{x}^\beta\varphi(x)|\leq C_{\alpha, \beta}(\varphi)$ ;
2. 对于任意整数 $k$ 和指标 $\alpha$ , $|\langle x\rangle^k\partial_x^\alpha\varphi(x)|\leq C_{k, \alpha}(\varphi)$.

证明请点此:

(1) $\Rightarrow$ (2): 这是显然的. 因为存在 $R>0$ s.t. $$ |x^\alpha\partial_x^\beta\varphi(x)|\leq 1, \forall |x|>R $$ 而显然在紧集 $\{|x|\leq R\}$ 上连续函数 $x^\alpha\partial_x^\beta\varphi$ 有最大最小值, 因此 $$ |x^\alpha\partial_x^\beta\varphi(x)|\leq \max\left\{\|x^\alpha\partial_x^\beta\varphi(x)\|_{L^\infty(\mathbb{R} ^n_x)}, 1\right\} $$ (2) $\Rightarrow$ (3): 由于 $$ \langle x\rangle^k = (1+|x|^2)^{\frac k2}\leq 2^{\frac k2}, |x|\leq 1\\ \langle x\rangle^k = (1+|x|^2)^{\frac k2}\leq (2|x|^2)^{\frac k2}=2^{\frac k2}|x|^k, |x|\geq 1 $$ 因此 $\langle x\rangle^k\leq C_k(1+|x|^k)$. 同时又有 $1\leq \langle x\rangle^k$, $|x|^k\leq \langle x\rangle^k$, 综上可得 $\frac12 (1+|x|^k)\leq \langle x\rangle^k\leq C_k(1 + |x|^k)$. 因此 $$ |\langle x\rangle^k\partial_x^\alpha\varphi(x)|\leq C_k|x|^k|\partial_x^\alpha\varphi(x)|\leq C_k\sum_{i=1}^n|x_i|^k|\partial_x^\alpha\varphi(x)|\leq C_k. $$ (3) $\Rightarrow$ (1): 用反证法, 存在某个指标 $\alpha, \beta$, 使得 $$ \overline{\lim_{x\to\infty}}|x^\alpha\partial_x^\beta\varphi(x)| = c >0 $$ 即存在序列 $\{x_m\}$, 使得 $|x_m^\alpha\partial_x^\beta\varphi(x_m)|\to C$. 那么可以得到对于任意一个 $\alpha_0>\alpha$, $$ |\langle x\rangle^{|\alpha_0|}\partial_x^\beta\varphi(x)|\geq|x^{\alpha_0}\partial_x^\beta\varphi(x)|\to\infty $$ 这与(3)的假设矛盾.

例子

例1: $e^{-|x|^2}\in\mathscr S$. 令

$$A=\{\sum_{|\alpha|<m}a_\alpha x^\alpha e^{-|x|^2}|; m\in \mathbb{Z} \}$$

我们可以看出任意 $A$ 中的函数在无穷远处的极限都为 $0$. 我们只需证明 $\partial_x^\beta e^{-|x|^2}\in A$, 就可以得到 $\lim x^\alpha\partial_x^\beta e^{-|x|^2} = 0$. 而这是几乎显然的, 因为 $\partial_{x_i}e^{-|x|^2} = -2x_ie^{-|x|^2}\in A$, 因此 $\partial_x^\beta e^{-|x|^2}\in A$.

例2: 若 $f, g\in\mathscr S$, 则 $f*g\in \mathscr S$.

证明请点此:

由于 $$ |\partial_x^\alpha f(x-y)g(y)|\leq \langle y\rangle^{-2n-1}|\partial_x^\alpha f(x-y)||\langle y\rangle^{2n+1}g(y)|\leq C_{f}C_g \langle y\rangle^{-2n-1} $$ 因此 $\partial_x^\alpha f(x-y)g(y)\in L^1(\mathbb{R}^n_y)$, 且 $|\partial_x^\alpha f(x-y)g(y)|\leq F_\alpha(y) = C_\alpha\langle y\rangle^{-2n-1}\in L^1(\mathbb{R}^n_y)$. 由控制收敛定理可以得到 $$ \langle x\rangle^k\partial_x^\alpha\int_{\mathbb{R} ^n_y}f(x-y)g(y)d y =\int_{\mathbb{R} ^n_y}\langle x\rangle^k\partial_x^\alpha f(x-y)g(y)dy. $$ 由于 $$ \langle x\rangle^k\leq C_k(\langle x-y\rangle^k + \langle y\rangle^k) $$ 可以得到 $$ \begin{aligned} &|\langle x\rangle^k\partial_x^\alpha\int_{\mathbb{R} ^n_y}f(x-y)g(y)dy| \leq \int_{\mathbb{R} ^n_y}\langle x\rangle^k|\partial_x^\alpha f(x-y)||g(y)|dy\\ =&\int_{\mathbb{R} ^n_y}\langle y\rangle^{-2n-1}\langle x\rangle^k|\partial_x^\alpha f(x-y)|\langle y\rangle^{2n+1}|g(y)|dy\\ \leq & C_k \int_{\mathbb{R} _y^n}\langle y\rangle^{-2n-1}dy (|\langle x-y\rangle^k\partial_x^\alpha f(x-y)||\langle y\rangle^{2n+1}g(y)| + |\partial_x^\alpha f(x-y)||\langle y\rangle^{2n+1+k}g(y)|)\\ \leq &C\int_{\mathbb{R} _y^n}\langle y\rangle^{-2n-1}dy<\infty \end{aligned} $$ 因此可以看出, $f*g\in \mathscr S$.

广义函数 $\mathscr D’, \mathscr S’, \mathscr E’$

函数类 $\mathscr D, \mathscr S, \mathscr E$ 的关系

函数类中的收敛性如下定义:

1. $\varphi_n\to0\ in\ \mathscr D$ 当且仅当存在紧集 $K\subset \Omega$, 使得 $supp K\subset K$, 且在 $K$ 上 $\partial^\alpha\varphi_n\rightrightarrows0, \forall \alpha$ ;
2. $\varphi_n\to0\ in\ \mathscr S$ 当且仅当 $x^\alpha\partial^\beta\varphi_n\rightrightarrows0, \forall \alpha, \beta$ ;
3. $\varphi_n\to0\ in\ \mathscr E$ 当且仅当对任意紧集 $K\subset\Omega$, 使得 $supp K\subset K$, 且在 $K$ 上 $\partial^\alpha\varphi_n\rightrightarrows0$.

其中, $\mathscr D=C_c^\infty, \mathscr E=C^\infty$. 显然函数类 $\mathscr D(\mathbb R^n)\subset \mathscr S(\mathbb{R}^n)\subset \mathscr E(\mathbb{R}^n)$, 并且这两个包含嵌入都是连续的.

我们可以看到, 三个空间 $\mathscr D, \mathscr S, \mathscr E$ 都是完备的. 若 $\varphi_n\in\mathscr D$, 存在紧集 $K$, 使得 $supp\varphi_n\subset K$, 存在 $C,m$, 使得

$$\sup_{x\in K}|\partial_x^\alpha \varphi(x)|\to 0,$$

也就是 $\varphi_n\to0\ in\ \mathscr D$, 那么

$$\sup_{x\in\mathbb{R} ^n}|x^\alpha\partial_x^\beta\varphi_n|\leq C\sup_{x\in K}|\partial_x^\beta\varphi_n|\to 0$$

也就是说 $\varphi_n\to 0\ in\ \mathscr S$. 因此从 $\mathscr D$ 到 $\mathscr S$ 的单位映射 $id_{\mathscr D}^{\mathscr S}$ 是一个连续嵌入. 同样若 $\varphi_n\to0\ in\ \mathscr S$, 则任取紧集 $K$,

$$\sup_{x\in K}|\partial_x^\alpha\varphi_n|\leq \sup_{x\in \mathbb{R} ^n}\langle x\rangle^{k}|\partial_x^\alpha\varphi_n|\to 0,$$

即 $\varphi_n\to 0\ in\ \mathscr E$. 因此从 $\mathscr S$ 到 $\mathscr E$ 的单位映射 $id_{\mathscr S}^{\mathscr E}$ 也是一个连续嵌入. 因此 $\mathscr D$ 可以看做 $\mathscr S, \mathscr E$ 的子集, 而 $\mathscr S$ 则可以看做是 $\mathscr E$ 的一个子集. 由于 $\mathscr D$ 在 $\mathscr S$ 和 $\mathscr E$ 中稠密, 因此 $\mathscr S$ 在 $\mathscr E$ 中稠密.

显然, $\mathscr D$ 可以定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的一个开集 $\Omega$ 上. 如果没有特殊说明, 今后用 $\mathscr D$ 表示 $\mathscr D(\Omega)$, $\mathscr E$ 同理.

函数类 $\mathscr D’, \mathscr S’, \mathscr E’$ 的关系

根据函数空间及其对偶的关系, 我们可以形式地得到下述包含关系式:

$$\mathscr E'\subset \mathscr S'\subset\mathscr D'.$$

任取 $f\in \mathscr E’$, 由于 $f: \mathscr E\to \mathbb C$, $T^{\mathscr S’}_{\mathscr E’}f:=f\circ id_{\mathscr S}^{\mathscr E}:\mathscr S\to\mathbb{C}$, 即

$$\langle f, \varphi\rangle_{\mathscr E', \mathscr E}=\langle Tf, \varphi\rangle_{\mathscr S', \mathscr S}.$$

任取 $f\in Ker T$,

$$\langle f, \varphi\rangle_{\mathscr E} = \langle Tf, \varphi\rangle_{\mathscr S} = 0, \forall \varphi\in \mathscr S,$$

根据 $\mathscr S$ 在 $\mathscr E$ 中的稠密性可以得到 $f=0$, 即 $T^{\mathscr S’}_{\mathscr E’}$ 是一个单射, 也就是说 $\mathscr E’\subset \mathscr S’$. 同理可得 $\mathscr S’\subset \mathscr D’$.

例子: $L_{loc}^1\subset \mathscr D’$. 任取 $f\in L_{loc}^1$, 令 $F: \varphi\in \mathscr D\mapsto \int f\varphi\in \mathbb{C}$. $F$ 的线性是显然的, 先证明 $F$ 的连续性. 若 $\varphi_n\to0\ in\ \mathscr D$, 设紧集 $K$ 满足 $\varphi_n\rightrightarrows0\ in\ K$, 且 $supp \varphi_n\subset K$, 那么

$$|\int f\varphi_n|\leq \int_K|f\varphi_n|\leq \|f\|_{L^1(K)}\sup_{x\in K}|\varphi_n|\to 0.$$

因此可以得到 $F(\varphi_n)\to 0$, 即 $F\in \mathscr D’$.

我们可以看出, 对于任意的局部可积函数都可以看做 $\mathscr D’$ 广义函数, 因此广义函数比一般函数范围更广.

但是对于 $\mathscr S’, \mathscr E’$ 广义函数 $\varphi$, $f\varphi$ 不一定可积. $\varphi=e^{-|x|^2}\in \mathscr S’$, 而 $f=e^{|x|^2}\in L^{1}_{loc}$, 但显然 $f\varphi\notin L^1$, 因此 $L^1_{loc}$ 不被 $\mathscr S’$, $\mathscr E’$ 包含.

例子: $\delta\in \mathscr E’$. 任取 $\varphi_n\to 0\ in\ \mathscr E$,

$$|\langle \delta, \varphi_n\rangle|=|\varphi_n(0)|\leq \sup_{x\in K}|\varphi_n|\to 0, \forall K\ni 0.$$

即 $\delta\in\mathscr E’\subset \mathscr S’\subset \mathscr D’$.

我们可以看到广义函数可以认为是由经典的函数逐步推广, 扩大而来的. 例如可以从连续函数 $C\subset L^1_{loc}$ 开始局部扩大范围, 而包括种种有奇异性的对象. 那么这样的推广可以扩大到什么地步, 并且最终又和连续函数还有什么样的联系?

$\mathscr D’, \mathscr E’$ 的等价定义

定理: $\mathscr D$ 上的线性函数 $f\in \mathscr D’$ 当且仅当对于任意紧集 $K$, 存在 $C, m$ (和 $K$ 有关)使得对任意 $\varphi\in \mathscr D$ 且 $supp(\varphi)\subset K$ 满足:

$$|\langle f, \varphi\rangle|\leq C\sum_{|\alpha|\leq m}\sup_{x\in K}|\partial^\alpha\varphi(x)|, \forall \varphi\in \mathscr D: supp(\varphi)\subset K.$$

定理: $\mathscr E$ 上的线性函数 $f\in \mathscr E’$ 当且仅当存在紧集 $K$, $C,m$ 使得

$$|\langle f, \varphi\rangle|\leq C\sup_{x\in K, |\alpha|<m}|\partial^\alpha\varphi|, \forall \varphi\in \mathscr E.$$

广义函数的局部化

广义函数的支集

对于连续函数, 我们可以定义某个点 $x_0$ 处的值, 但是对于 $L_{loc}^1$ 空间的函数, 考虑某个点 $x_0$ 处的值并没有意义, 因为 $L^1_{loc}$ 函数的相等是 $a.e.$ 意义下的相等, 改变一个零测集上的函数值, 并不改变这个函数. 由于 $L^1_{loc}\subset \mathscr D’$, 对于广义函数更加如此, 考虑某点处 $x_0$ 的取值是没有意义的.

我们考虑 $f\in L^1_{loc}$ 函数的在 $x_0$ 点处的取值应当考虑到它的一个开邻域上的值. 我们回忆到

$$\int f\varphi = 0, \forall \varphi\in C_c^\infty\Rightarrow f=0\ a.e.$$

那么对于一个开集 $U$, 我们可以定义在这个开集 $U$ 上, 函数 $f$ 是否为0. 即

$$f|_U=0:\iff \int f\varphi=0, \forall \varphi\in C_c^\infty(U).$$

那么我们可以定义

$$supp f := \left(\bigcup_{f|_u=0} U\right)^c.$$

定理: $f\in L^1_{loc}$, 那么 $f|_U=0$, 其中 $U = (supp f)^c$.

这个定理并不是显然的, 因为任意零测集的并集不一定是零测.

证明请点击:

对于 $\forall x\in U$, 存在开集 $U_x\subset U$, 使得 $f|_{U_x}=0$. 则 $\{U_x\}$ 是 $U$ 的一个开覆盖. 由于 $\mathbb{R}^n$ 是第二可数的, 那么任意开覆盖具有可数子覆盖, 因此存在 $\{U_n\}$ 使得 $\cup U_n = U$. 因此 $\{x\in U;f|_U(x)\neq 0\} = \cup_n\{x\in U_n;f|_{U_n}(x)\neq 0\}$, 即在 $U$ 上 $f\neq0$ 的点集是零测集, 故 $f|_U=0$.

定义: $f\in\mathscr D’$ 在开集 $U$ 上为0( $f|_U=0$ )当且仅当

$$\langle f,\varphi\rangle=0, \forall \varphi\in C_c^\infty(U).$$

并且定义 $f$ 的支集

$$supp f = \left(\bigcup_{f|_U=0} U\right)^c.$$

我们可以验证这个定义的合理性:

定理: $f\in \mathscr D’$, 那么 $f|_U=0$, 其中 $U = (suppf)^c$.

证明请点击:

任取 $\varphi\in C_c^\infty(U)$, 令 $K=supp\varphi$, 对于任意 $x\in K$, 存在 $x$ 的开邻域 $U_x\subset U$. 这些开邻域构成了 $K$ 的一个开覆盖, 由于紧性可以找到有限个子覆盖记为 $U_1, \cdot, U_n$. 则存在 $\theta_1\in C^\infty_c(U_1), \cdot, \theta_n\in C_c^\infty(U_n)$, 使得 $$ \sum_{i=1}^n\theta_i=\varphi\ on\ K. $$ 根据 $f|_{U_i}=0$, 可以得到 $$ \langle f,\varphi\rangle =\sum_{i=1}^n\langle f, \theta_i\rangle = 0, $$ 即 $f|_U=0$.

例: $supp \delta=\{0\}$. 任取 $\varphi\in C_c^\infty((0, \infty))$, $\langle \delta, \varphi\rangle=\varphi(0)=0$, 因此 $supp\delta\subset(-\infty, 0]$. 同理 $supp\delta\subset[0, \infty)$. 因此 $supp\delta\subset\{0\}$, 又因为 $\delta\neq0$, 则 $supp\delta=\{0\}$.

讨论广义函数的时候, 奇异性的问题是一个核心问题. 我们关于广义函数的理论是基于 $C^\infty$ 函数的, 因此我们认为 $C^\infty$ 函数是正规的, 非 $C^\infty$ 的函数则认为是奇异的. 上面已经说过, 对于一个广义函数 $f\in \mathscr D’$, 我们考虑它在某一点的值是没有意义的, 但是可以考虑 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域上的取值. 根据这种广义函数的局部性质可以仿照支集的定义给出一个重要的概念: 奇支集. 因为 $C^\infty\subset L^1_{loc}$, 也就是任何”正则的”函数都是 $\mathscr D’$ 广义函数. 因此可以讨论当 $f\in \mathscr D’$ 在某一开集 $U$ 上等于一个 $C^\infty$ 函数. 若 $f\in\mathscr D’$ 在开集 $U_i$ 上等于 $f_i\in C^\infty$. 显然当 $x\in U_i\cap U_j$ 时, $f_i(x)=f_j(x)$, 所以对于任意的 $U_i$ 的并集上, $f$ 都可以等于一个 $C^\infty$ 函数(几乎处处相等).

定义: $f\in\mathscr D’$ 在其上等于一个 $C^\infty$ 函数的最大开集的补集称为 $f$ 的奇支集, 记作 $singsupp(f)$.

从上述的讨论可以得知, 广义函数拥有类似于”流形”的性质: 可以将其分成一个一个开子集, 并且也可以将每一片开子集”粘”起来称为一个整体的对象.

广义函数的延拓

一般来说, 广义函数 $u\in L^1_{loc}(X)\subset D’(X)$ 泛函

$$u(\varphi) : = \int u\varphi dx$$

是显然对任意 $\varphi\in C^\infty(X)$ 且满足

$$supp(\varphi)\cap supp(u) \subset\subset X$$

的函数成立. 我们在想, 这结论是否对任意的广义函数 $u\in D’(X)$ 都成立呢? 答案是对的.

定理: 令 $u\in D’(X)$, 且 $F$ 在 $X$ 中相对闭, $supp(u)\subset F$. 则存在唯一的在空间 $A= \{\varphi\in C^\infty(X); F\cap supp(\varphi)\subset\subset X\}$ 上的线性连续泛函 $\tilde u$ 满足

$$\begin{aligned} &\tilde u (\varphi) = u(\varphi), &\forall \varphi \in C_0^\infty(X);\\ &\tilde u(\varphi) = 0, &\forall \varphi\in C^\infty(X); F\cap supp(\varphi) = \varnothing . \end{aligned}$$

$\tilde u$ 的最大定义域是当 $F$ 最小, 也就是 $F=supp (u)$ 的时候成立.

广义函数的运算

首先设 $a\in C^\infty$, $f(x)\in\mathscr D’$. 可以定义乘子 $af\in \mathscr D’$ 为

$$\langle af, \varphi\rangle=\langle f, a\varphi\rangle, \forall \varphi\in \mathscr D.$$

例子: $x\delta(x)=0$. 因为

$$\langle x\delta, \varphi\rangle=\langle \delta, x\varphi\rangle=(x\varphi)|_{x=0} = 0, \forall \varphi \in \mathscr D.$$

反之, 若 $f\in \mathscr D’$, s.t. $xf=0$, 则可以验证 $supp(f)\subset\{0\}$, 因此 $f=\sum_{i\leq N} c_i\delta^{(i)}$. 而 $x\delta^{(k)}\neq0$, 因此 $f=c\delta$.

对于微分运算, 也可以如下定义

$$\langle f', \varphi\rangle=-\langle f, \varphi'\rangle, \forall \varphi\in \mathscr D.$$